几何计数

dora_clx · 发表于 2020-7-20 13:29

圆周上有 15个点 A1、A2、…、A15，以这些点为顶点连出 5个三角形，要求任意两个三角形没有公共点（包括顶点和交点），那么一共有种连接方式？

妙麻麻 · 发表于 2020-7-21 09:50

太难了，都没有人会

老吴88888 · 发表于 2020-7-21 17:02

本帖最后由老吴88888 于 2020-7-21 17:03 编辑

简单的开始考察：
3个点，1种
6个点，3种
9个点，12种三角形分成两类：
圆周上连续3点组成的三角形和非连续三点组成的三角形。其中所有三角形都取连续的三点，只有3种。剩余见图，每确定图中的一个三角形（代表非连续三点组成的三角形），其他的三角形都确定了。所以3+9=12

老吴88888 · 发表于 2020-7-21 17:05

顺着画三角形的思路考察15个点，分成四类，第一类是全部取圆周上连续三个点，只有3种。第二类，取非连续的点构成1个三角形。第三类，取非连续的点构成2个三角形。第四类，取非连续的点构成三个三角形。

老吴88888 · 发表于 2020-7-21 17:08

第二类的情况1，只能画一个三角形，则不同颜色的三角形各有15个。15*3=45个

老吴88888 · 发表于 2020-7-21 17:11

第二类的情况2，也是15个

老吴88888 · 发表于 2020-7-21 17:13

第三类，可以画两个三角形，情况1。先确定1，8，9三个点，可以画一个三角形，左侧一个三角形有两种选择，同理有侧也有两种选择。顶点1有15种选择，所以15*2*2=60种

老吴88888 · 发表于 2020-7-21 17:15

第三类情况2，先确定1，5，12三点，则另一个三角形有两种选择，15*2=30种

老吴88888 · 发表于 2020-7-21 17:17

第三类情况3，先确定1，11，12三点。即确定了一个三角形。另取画出的其他两个三角形的一个，即构成一种连接方法。所以有15*2=30种。

老吴88888 · 发表于 2020-7-21 17:24

第三种情况4，还是先确定1，11，12，然后有5，6，10。两个黑色三角形可以看成从顶点10开始按特定规律做图形。因为有15个顶点，所以有15种情况。绿色标出的2，3，7是从顶点1开始按上述规律做的图形，所以不能在算。所以只有15种。

老吴88888 · 发表于 2020-7-21 17:27

第四种情况，要做三个三角形，先确定1，8，9，然后左右两侧再做一个三角形，前述左右各有两种情况，所以是15*2*2=60种。

共计：3+45+15+60+30+30+15+60=258

分析仓促难免重复遗漏，思路供楼主参考。

dora_clx · 发表于 2020-7-21 20:18

老吴88888 发表于 2020-07-21 17:27
第四种情况，要做三个三角形，先确定1，8，9，然后左右两侧再做一个三角形，前述左右各有两种情况，所以是15*2*2=60种。

共计：3+45+15+60+30+30+15+60=258

分析仓促难免重复遗漏，思路供楼主参考。

答案是273种，大概少了几种情况

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老吴88888 · 发表于 2020-7-21 21:53

确实第11楼少算了15种，连接1 5 6和7 11 12，可以看到和我画的是对称的，也是不同的情况，共有15个

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angolee · 发表于 2020-7-22 12:24

这个题太太太难了

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[小学数学] 几何计数

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